Extracció de l'arrel d'un nombre complex

En aquesta publicació, veurem com es pot treure l'arrel d'un nombre complex, i també com això pot ajudar a resoldre equacions de segon grau el discriminant de les quals és menor que zero.

Extracció de l'arrel d'un nombre complex

Arrel quadrada

Com sabem, és impossible treure l'arrel d'un nombre real negatiu. Però quan es tracta de nombres complexos, aquesta acció es pot realitzar. Anem a esbrinar-ho.

Diguem que tenim un número z = -9. Per √-9 hi ha dues arrels:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Comprovem els resultats obtinguts resolent l'equació z² = -9, sense oblidar-ho i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Així ho hem demostrat -3i и 3i són arrels √-9.

L'arrel d'un nombre negatiu s'escriu normalment així:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etcètera...

Arrel a la potència de n

Suposem que ens donen equacions de la forma z = ⁿ√w… Té n arrels (z₀, De₁, De₂,…, z_n-1), que es pot calcular amb la fórmula següent:

|w| és el mòdul d'un nombre complex w;

φ - el seu argument

k és un paràmetre que pren els valors: k = {0, 1, 2,..., n-1}.

Equacions quadràtiques amb arrels complexes

L'extracció de l'arrel d'un nombre negatiu canvia la idea habitual d'uXNUMXbuXNUMXb. Si el discriminant (D) és menor que zero, llavors no hi pot haver arrels reals, però es poden representar com a nombres complexos.

exemple

Anem a resoldre l'equació x² – 8x + 20 = 0.

Solució

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, però encara podem agafar l'arrel del discriminant negatiu:

√D = √-16 = ±4i

Ara podem calcular les arrels:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Per tant, l'equació x² – 8x + 20 = 0 té dues arrels conjugades complexes:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i