Elevar un nombre complex a una potència natural

En aquesta publicació, considerarem com es pot elevar un nombre complex a una potència (incloent-hi la fórmula de De Moivre). El material teòric va acompanyat d'exemples per a una millor comprensió.

Elevar un nombre complex a una potència

Primer, recordeu que un nombre complex té la forma general: z = a + bi (forma algebraica).

Ara podem procedir directament a la solució del problema.

Número quadrat

Podem representar el grau com un producte dels mateixos factors i, a continuació, trobar el seu producte (tot recordem-ho i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Exemple 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

També podeu utilitzar, és a dir, el quadrat de la suma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nota: De la mateixa manera, si cal, es poden obtenir fórmules per al quadrat de la diferència, el cub de la suma / diferència, etc.

Enèsimo grau

Aixecar un nombre complex z en espècie n molt més fàcil si es representa en forma trigonomètrica.

Recordeu que, en general, la notació d'un nombre és així: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Per a l'exponenciació, podeu utilitzar Fórmula de De Moivre (anomenat així després del matemàtic anglès Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

La fórmula s'obté escrivint en forma trigonomètrica (es multipliquen els mòduls i s'afegeixen els arguments).

Exemple 2

Aixecar un nombre complex z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) fins al vuitè grau.

Solució

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).