En aquesta publicació, considerarem què és el mètode gaussià, per què és necessari i quin és el seu principi. També demostrarem amb un exemple pràctic com es pot aplicar el mètode per resoldre un sistema d'equacions lineals.
Descripció del mètode de Gauss
Mètode de Gauss és el mètode clàssic d'eliminació seqüencial de variables utilitzat per resoldre . Porta el nom del matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Però primer, recordem que SLAU pot:
- tenir una única solució;
- tenir un nombre infinit de solucions;
- ser incompatibles, és a dir, no tenir solucions.
Beneficis pràctics
El mètode de Gauss és una bona manera de resoldre un SLAE que inclou més de tres equacions lineals, així com sistemes que no són quadrats.
Principi del mètode de Gauss
El mètode inclou els passos següents:
- recte – la matriu augmentada corresponent al sistema d'equacions, es redueix per sobre de les files a la forma triangular superior (esglaonada), és a dir, sota la diagonal principal només hi hauria d'haver elements iguals a zero.
- esquena – a la matriu resultant, els elements per sobre de la diagonal principal també es posen a zero (vista triangular inferior).
Exemple de solució SLAE
Anem a resoldre el sistema d'equacions lineals a continuació utilitzant el mètode de Gauss.
Solució
1. Per començar, presentem el SLAE en forma de matriu ampliada.
2. Ara la nostra tasca és restablir tots els elements sota la diagonal principal. Més accions depenen de la matriu específica, a continuació descriurem les que s'apliquen al nostre cas. Primer, intercanviem les files, col·locant així els seus primers elements en ordre ascendent.
3. Resta de la segona fila dues vegades la primera, i de la tercera, triplica la primera.
4. Afegiu la segona línia a la tercera línia.
5. Resta la segona línia de la primera, i alhora divideix la tercera per -10.
6. S'ha completat la primera etapa. Ara hem d'obtenir els elements nuls per sobre de la diagonal principal. Per fer-ho, resteu el tercer multiplicat per 7 de la primera fila i sumeu el tercer multiplicat per 5 a la segona.
7. La matriu ampliada final té aquest aspecte:
8. Correspon al sistema d'equacions:
Resposta: arrel SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.