Files lineals dependents i independents: definició, exemples

En aquesta publicació, considerarem què és una combinació lineal de cadenes, cadenes linealment dependents i independents. També posarem exemples per a una millor comprensió del material teòric.

Definició d'una combinació lineal de cadenes

Combinació lineal (LK) terme s₁Amb₂, …, s_n matriu A anomenada expressió de la forma següent:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Si tots els coeficients α_i són iguals a zero, per tant LC és trivial. En altres paraules, la combinació lineal trivial és igual a la fila zero.

Per exemple: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

En conseqüència, si almenys un dels coeficients α_i no és igual a zero, llavors LC ho és no trivial.

Per exemple: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Files linealment dependents i independents

El sistema de cordes és depenent linealment (LZ) si hi ha una combinació lineal no trivial d'ells, que és igual a la línia zero.

Per tant, es dedueix que un LC no trivial pot ser, en alguns casos, igual a la cadena zero.

El sistema de cordes és linealment independent (LNZ) si només el LC trivial és igual a la cadena nul·la.

notes:

• En una matriu quadrada, el sistema de files és una LZ només si el determinant d'aquesta matriu és zero (la = 0).
• En una matriu quadrada, el sistema de files és un LIS només si el determinant d'aquesta matriu no és igual a zero (la ≠ 0).

Exemple de problema

Anem a esbrinar si el sistema de cordes és {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} depenent linealment.

Decisió:

1. Primer, fem un LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Ara anem a esbrinar quins valors haurien de prendre α₁ и α₂de manera que la combinació lineal sigui igual a la cadena nul·la.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Fem un sistema d'equacions:

4. Dividiu la primera equació per tres, la segona per quatre:

5. La solució d'aquest sistema és qualsevol α₁ и α₂, Amb α₁ = -3a₂.

Per exemple, si α₂ = 2llavors α₁ = -6. Substituïm aquests valors al sistema d'equacions anterior i obtenim:

Resposta: doncs les línies s₁ и s₂ depenent linealment.