contingut
En aquesta publicació, considerarem la definició del rang d'una matriu, així com els mètodes pels quals es pot trobar. També analitzarem exemples per demostrar l'aplicació de la teoria a la pràctica.
Determinació del rang d'una matriu
Classificació de la matriu és el rang del seu sistema de files o columnes. Qualsevol matriu té els seus rangs de files i columnes, que són iguals entre si.
Classificació del sistema de files és el nombre màxim de files linealment independents. El rang del sistema de columnes es determina de manera similar.
notes:
- El rang de la matriu zero (indicat amb el símbol "θ") de qualsevol mida és zero.
- El rang de qualsevol vector fila o vector columna diferent de zero és igual a un.
- Si una matriu de qualsevol mida conté almenys un element que no és igual a zero, aleshores el seu rang no és inferior a un.
- El rang d'una matriu no és superior a la seva dimensió mínima.
- Les transformacions elementals realitzades en una matriu no canvien el seu rang.
Trobar el rang d'una matriu
Mètode de franges menors
El rang d'una matriu és igual a l'ordre màxim d'una matriu diferent de zero.
L'algorisme és el següent: trobar els menors des de l'ordre més baix fins al més alt. Si és menor nl'ordre no és igual a zero, i tots els següents (n+1) són iguals a 0, de manera que el rang de la matriu és n.
exemple
Per fer-ho més clar, prenguem un exemple pràctic i busquem el rang de la matriu A a continuació, utilitzant el mètode de la frontera amb menors.
Solució
Estem davant d'una matriu 4 × 4, per tant, el seu rang no pot ser superior a 4. A més, hi ha elements diferents de zero a la matriu, el que significa que el seu rang no és inferior a un. Així que comencem:
1. Comenceu a comprovar menors de segon ordre. Per començar, agafem dues files de la primera i la segona columna.
Menor és igual a zero.
Per tant, passem a la següent menor (en queda la primera columna, i en comptes de la segona agafem la tercera).
El menor és 54≠0, de manera que el rang de la matriu és almenys dos.
Nota: Si aquest menor resultés igual a zero, comprovaríem encara més les combinacions següents:
Si cal, l'enumeració es pot continuar de la mateixa manera amb cadenes:
- 1 i 3;
- 1 i 4;
- 2 i 3;
- 2 i 4;
- 3 i 4.
Si tots els menors de segon ordre fossin iguals a zero, el rang de la matriu seria igual a un.
2. Vam aconseguir gairebé immediatament trobar un menor que ens convingués. Així que passem a menors de tercer ordre.
Al menor trobat de segon ordre, que va donar un resultat diferent de zero, afegim una fila i una de les columnes destacades en verd (comencem des de la segona).
El menor va resultar ser zero.
Per tant, canviem la segona columna per la quarta. I en el segon intent, aconseguim trobar un menor que no sigui igual a zero, la qual cosa vol dir que el rang de la matriu no pot ser inferior a 3.
Nota: si el resultat tornés a ser zero, en comptes de la segona fila, agafem la quarta més enllà i seguim la recerca d'un “bon” menor.
3. Ara queda per determinar menors de quart ordre basat en el que s'ha trobat abans. En aquest cas, és un que coincideix amb el determinant de la matriu.
Menor és igual a 144≠0. Això vol dir que el rang de la matriu A és igual a 4.
Reducció d'una matriu a una forma escalonada
El rang d'una matriu de passos és igual al nombre de les seves files diferents de zero. És a dir, tot el que hem de fer és portar la matriu a la forma adequada, per exemple, utilitzant , que, com hem comentat anteriorment, no canvia el seu rang.
exemple
Troba el rang d'una matriu B baix. No prenem un exemple massa complex, perquè el nostre objectiu principal és simplement demostrar l'aplicació del mètode a la pràctica.
Solució
1. En primer lloc, resta el primer doblat de la segona línia.
2. Ara resta la primera fila de la tercera, multiplicada per quatre.
Així, hem obtingut una matriu de passos en què el nombre de files diferents de zero és igual a dues, per tant, el seu rang també és igual a 2.