En aquesta publicació, considerarem un dels principals teoremes de la geometria euclidiana: el teorema de Stewart, que va rebre aquest nom en honor al matemàtic anglès M. Stewart, que ho va demostrar. També analitzarem amb detall un exemple de resolució del problema per consolidar el material presentat.
Enunciat del teorema
Triangle Dan abecedari. Al seu costat AC punt pres D, que està connectat a la part superior B. Acceptem la notació següent:
- AB = a
- BC = b
- BD = pàg
- AD = x
- DC = i
Per a aquest triangle, la igualtat és certa:
Aplicació del teorema
A partir del teorema de Stewart, es poden derivar fórmules per trobar les mitjanes i bisectrius d'un triangle:
1. La longitud de la bisectriu
Deixar lc és la bisectriu dibuixada al costat c, que es divideix en segments x и y. Prenguem els altres dos costats del triangle com a и b… En aquest cas:
2. Longitud mitjana
Deixar mc és la mediana girada cap al costat c. Denotem els altres dos costats del triangle com a и b… Aleshores:
Exemple de problema
Triangle donat ABC Al costat AC igual a 9 cm, punt pres D, que divideix el costat de manera que AD el doble de llarg DC. La longitud del segment que connecta el vèrtex B i punt D, fa 5 cm. En aquest cas, el triangle format ABD és isòsceles. Troba els costats restants del triangle abecedari.
Solució
Representem les condicions del problema en forma de dibuix.
AC = AD + DC = 9 cm. AD més temps DC dues vegades, és a dir AD = 2DC.
En conseqüència, el fitxer 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Tan, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Perquè triangle ABD – isòsceles, i lateral AD fa 6 cm, per tant són iguals AB и BDIe AB = 5 cm.
Només queda per trobar BC, derivant la fórmula del teorema de Stewart:
Substituïm els valors coneguts en aquesta expressió:
Per aquest camí, BC = √52 ≈ 7,21 cm.