Sistema d'equacions algebraiques lineals

En aquesta publicació, considerarem la definició d'un sistema d'equacions algebraiques lineals (SLAE), com es veu, quins tipus n'hi ha, i també com presentar-lo en forma de matriu, inclosa una ampliada.

Definició d'un sistema d'equacions lineals

Sistema d'equacions algebraiques lineals (o "SLAU" per abreujar) és un sistema que generalment té aquest aspecte:

• m és el nombre d'equacions;
• n és el nombre de variables.
• x₁, x₂,…, x_n - desconegut;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – coeficients per a incògnites;
• b₁b₂,…, b_m - membres gratuïts.

Índexs de coeficients (a_ij) es formen de la següent manera:

• i és el nombre de l'equació lineal;
• j és el nombre de la variable a què es refereix el coeficient.

Solució SLAU - aquests números c₁, C₂,…, c_n , en el marc del qual en lloc de x₁, x₂,…, x_n, totes les equacions del sistema es convertiran en identitats.

Tipus de SLAU

1. Homogeni – tots els membres lliures del sistema són iguals a zero (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogènia - Si no es compleix la condició anterior.
3. Quadrat – el nombre d'equacions és igual al nombre d'incògnites, és a dir m = n.

   

4. Indeterminat – el nombre d'incògnites és més gran que el nombre d'equacions.

   

5. anul·lat Hi ha més equacions que variables.

   

Segons el nombre de solucions, SLAE pot ser:

1. Conjunt té almenys una solució. A més, si és únic, el sistema s'anomena definit, si hi ha diverses solucions, s'anomena indefinit.

   

   El SLAE anterior és conjunt, perquè hi ha almenys una solució: x = 2, y = 3.

2. incompatible El sistema no té solucions.

   

   Els costats dret de les equacions són els mateixos, però els de l'esquerra no. Per tant, no hi ha solucions.

Notació matricial del sistema

SLAE es pot representar en forma de matriu:

AX = B

• A és la matriu formada pels coeficients de les incògnites:

  

• X - columna de variables:

  

• B – columna de membres gratuïts:

  

exemple

Representem el sistema d'equacions a continuació en forma de matriu:

Utilitzant les formes anteriors, composem la matriu principal amb coeficients, columnes amb membres desconeguts i lliures.

Registre complet del sistema d'equacions donat en forma matricial:

Matriu SLAE estesa

Si a la matriu del sistema A afegiu la columna de membres gratuïts a la dreta B, separant les dades amb una barra vertical, s'obté una matriu estesa de SLAE.

Per a l'exemple anterior, es veu així:

– designació de la matriu estesa.