Quin és el límit d'una funció

En aquesta publicació, considerarem un dels conceptes principals de l'anàlisi matemàtica: el límit d'una funció: la seva definició, així com diverses solucions amb exemples pràctics.

Determinació del límit d'una funció

Límit de la funció – el valor al qual tendeix el valor d'aquesta funció quan el seu argument tendeix al punt límit.

Registre límit:

• el límit s'indica amb la icona lim;
• a continuació s'afegeix a quin valor tendeix l'argument (variable) de la funció. Normalment això x, però no necessàriament, per exemple:x→1″;
• llavors s'afegeix la funció en si a la dreta, per exemple:

  

Així, el registre final del límit té aquest aspecte (en el nostre cas):

Es llegeix com "límit de la funció quan x tendeix a la unitat".

x→ 1 – això vol dir que “x” assumeix constantment valors que s’acosten infinitament a la unitat, però que mai no coincidiran amb ella (no s’arribarà).

Límits de decisió

Amb un número donat

Anem a resoldre el límit anterior. Per fer-ho, simplement substituïu la unitat a la funció (perquè x→1):

Així, per resoldre el límit, primer intentem substituir simplement el nombre donat a la funció que hi ha a sota (si x tendeix a un nombre específic).

Amb infinitat

En aquest cas, l'argument de la funció augmenta infinitament, és a dir, "X" tendeix a l'infinit (∞). Per exemple:

If x→∞, aleshores la funció donada tendeix a menys infinit (-∞), perquè:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997, etc.

Un altre exemple més complex

Per resoldre aquest límit, també, simplement augmentar els valors x i mireu el "comportament" de la funció en aquest cas.

• RџSЂRё x = 1, i = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, i = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, i = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Així, per "X"tendint a l'infinit, la funció x² + 3x – 6 creix indefinidament.

Amb incertesa (x tendeix a l'infinit)

En aquest cas, estem parlant de límits, quan la funció és una fracció, el numerador i el denominador de la qual són polinomis. On "X" tendeix a l'infinit.

Exemple: calculem el límit a continuació.

Solució

Les expressions tant en el numerador com en el denominador tendeixen a l'infinit. Es pot suposar que en aquest cas la solució serà la següent:

Tanmateix, no tot és tan senzill. Per resoldre el límit hem de fer el següent:

1. Troba x a la potència més alta per al numerador (en el nostre cas, són dos).

2. De la mateixa manera, definim x a la potència més alta per al denominador (també és igual a dos).

3. Ara dividim el numerador i el denominador per x en grau superior. En el nostre cas, en ambdós casos, en el segon, però si fossin diferents, hauríem de prendre el grau més alt.

4. En el resultat resultant, totes les fraccions tendeixen a zero, per tant la resposta és 1/2.

Amb incertesa (x tendeix a un nombre específic)

Tant el numerador com el denominador són polinomis, però, "X" tendeix a un nombre concret, no a l'infinit.

En aquest cas, tanquem condicionalment els ulls al fet que el denominador és zero.

Exemple: Trobem el límit de la funció a continuació.

Solució

1. Primer, substituïm el número 1 a la funció, a la qual "X". Tenim la incertesa de la forma que estem considerant.

2. A continuació, descomposem el numerador i el denominador en factors. Per fer-ho, podeu utilitzar les fórmules de multiplicació abreujades, si són adequades, o bé.

En el nostre cas, les arrels de l'expressió en el numerador (2x² – 5x + 3 = 0) són els números 1 i 1,5. Per tant, es pot representar com: 2(x-1)(x-1,5).

denominador (x–1) inicialment és senzill.

3. Obtenim aquest límit modificat:

4. La fracció es pot reduir per (x–1):

5. Només queda substituir el número 1 en l'expressió obtinguda sota el límit: