El petit teorema de Fermat

En aquesta publicació, considerarem un dels principals teoremes de la teoria dels nombres enters:  El petit teorema de Fermatporta el nom del matemàtic francès Pierre de Fermat. També analitzarem un exemple de resolució del problema per consolidar el material presentat.

Enunciat del teorema

1. Inicial

If p és un nombre primer a és un nombre enter que no és divisible per pllavors a^p-1 - 1 dividit p.

S'escriu formalment així: a^p-1 ≡ 1 (en contra p).

Nota: Un nombre primer és un nombre natural que només és divisible per XNUMX i ell mateix sense resta.

Per exemple:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nombre 15 dividit 5 sense resta.

2. Alternativa

If p és un nombre primer, a qualsevol nombre enter, doncs a^p comparable a a mòdul p.

a^p ≡ a (en contra p)

Història de la recerca de proves

Pierre de Fermat va formular el teorema el 1640, però no ho va demostrar ell mateix. Més tard, ho va fer Gottfried Wilhelm Leibniz, filòsof, lògic, matemàtic, etc. Es creu que ja tenia la prova el 1683, encara que mai es va publicar. Cal destacar que Leibniz va descobrir el teorema ell mateix, sense saber que ja havia estat formulat abans.

La primera demostració del teorema es va publicar l'any 1736, i pertany al suís, alemany i matemàtic i mecànic, Leonhard Euler. El petit teorema de Fermat és un cas especial del teorema d'Euler.

Exemple de problema

Troba la resta d'un nombre 2¹² on 12.

Solució

Imaginem un número 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 és un nombre primer, per tant, pel petit teorema de Fermat obtenim:

2¹¹ ≡ 2 (en contra 11).

Per tant, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (en contra 11).

Així que el número 2¹² dividit 12 amb una resta igual a 4.