Trobar la matriu inversa

En aquesta publicació analitzarem què és una matriu inversa i, a més, a partir d'un exemple pràctic, analitzarem com es pot trobar mitjançant una fórmula especial i un algorisme per a accions seqüencials.

Definició de matriu inversa

En primer lloc, recordem què són els recíprocs a les matemàtiques. Suposem que tenim el nombre 7. Aleshores la seva inversa serà 7^-1 or ¹/₇. Si multipliqueu aquests nombres, el resultat serà un, és a dir, 7 7^-1 = 1.

Gairebé el mateix amb les matrius. Marxa enrere s'anomena aquesta matriu, multiplicant la qual per l'original, obtenim la identitat. Està etiquetada com A^-1.

A · A^-1 =E

Algorisme per trobar la matriu inversa

Per trobar la matriu inversa, cal ser capaç de calcular matrius, així com tenir les habilitats per realitzar determinades accions amb elles.

Cal tenir en compte de seguida que la inversa només es pot trobar per a una matriu quadrada, i això es fa mitjançant la fórmula següent:

|A| – determinant de la matriu;

A^T_M és la matriu transposada d'addicions algebraiques.

Nota: si el determinant és zero, aleshores la matriu inversa no existeix.

exemple

Anem a buscar la matriu A a continuació hi ha el revers.

Solució

1. Primer, busquem el determinant de la matriu donada.

2. Ara fem una matriu que tingui les mateixes dimensions que l'original:

Hem d'esbrinar quins números haurien de substituir els asteriscs. Comencem amb l'element superior esquerre de la matriu. El menor es troba ratllant la fila i la columna on es troba, és a dir, en ambdós casos al número u.

El nombre que queda després del ratllat és el menor requerit, és a dir M₁₁ = 8.

De la mateixa manera, trobem els menors per als elements restants de la matriu i obtenim el resultat següent.

3. Definim la matriu d'addicions algebraiques. Com calcular-los per a cada element, hem considerat per separat.

Per exemple, per a un element a₁₁ La suma algebraica es considera de la següent manera:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Realitzeu la transposició de la matriu resultant d'addicions algebraiques (és a dir, intercanvieu les columnes i les files).

5. Només queda utilitzar la fórmula anterior per trobar la matriu inversa.

Podem deixar la resposta d'aquesta forma, sense dividir els elements de la matriu pel nombre 11, ja que en aquest cas obtenim nombres fraccionaris lleigs.

Comprovant el resultat

Per assegurar-nos que tenim la inversa de la matriu original, podem trobar el seu producte, que hauria de ser igual a la matriu d'identitat.

Com a resultat, vam obtenir la matriu d'identitat, el que significa que ho vam fer tot bé.