contingut
En aquesta publicació, considerarem la definició i les principals propietats de les línies mitjanes d'un quadrilàter convex pel que fa al seu punt d'intersecció, relació amb diagonals, etc.
Nota: A continuació, considerarem només una figura convexa.
Determinació de la línia mitjana d'un quadrilàter
El segment que connecta els punts mitjans dels costats oposats del quadrilàter (és a dir, que no els talla) s'anomena seu línia mitjana.
- EF - línia mitjana que uneix els punts mitjans AB и CD; AE=EB, CF=FD.
- GH – línia mitjana que separa els punts mitjans BC и AD; BG=GC, AH=HD.
Propietats de la línia mitjana d'un quadrilàter
Propietat 1
Les línies mitjanes del quadrilàter es tallen i es bisecten en el punt d'intersecció.
- EF и GH (línies mitjanes) es tallen en un punt O;
- EO=DE, GO=OH.
Nota: Punt O is centreide (o baricentre) quadrilàter.
Propietat 2
El punt d'intersecció de les línies mitjanes del quadrilàter és el punt mitjà del segment que connecta els punts mitjans de les seves diagonals.
- K – el mig de la diagonal AC;
- L – el mig de la diagonal BD;
- KL passa per un punt O, connectant-se K и L.
Propietat 3
Els punts mitjans dels costats d'un quadrilàter són els vèrtexs d'un paral·lelogram anomenat Paral·lelogram de Varignon.
El centre del paral·lelogram format d'aquesta manera i el punt d'intersecció de les seves diagonals és el punt mitjà de les línies mitjanes del quadrilàter original, és a dir, el seu punt d'intersecció. O.
Nota: L'àrea d'un paral·lelogram és la meitat de l'àrea d'un quadrilàter.
Propietat 4
Si els angles entre les diagonals d'un quadrilàter i la seva línia mitjana són iguals, aleshores les diagonals tenen la mateixa longitud.
- EF - línia mitjana;
- AC и BD - diagonals;
- ∠ELC = ∠BMF = a, Conseqüentment AC=BD.
Propietat 5
La línia mitjana d'un quadrilàter és menor o igual a la meitat de la suma dels seus costats que no es tallen (sempre que aquests costats siguin paral·lels).
EF – una línia mitjana que no es talla amb els costats AD и BC.
En altres paraules, la línia mitjana d'un quadrilàter és igual a la meitat de la suma dels costats que no el tallen si i només si el quadrilàter donat és un trapezi. En aquest cas, els costats considerats són les bases de la figura.
Propietat 6
Per al vector de línia mitjana d'un quadrilàter arbitrari, es compleix la següent igualtat:
