En aquesta publicació, considerarem un dels teoremes clàssics de la geometria afí: el teorema de Ceva, que va rebre aquest nom en honor a l'enginyer italià Giovanni Ceva. També analitzarem un exemple de resolució del problema per tal de consolidar el material presentat.
Enunciat del teorema
Triangle donat abecedari, en què cada vèrtex està connectat amb un punt del costat oposat.
Així, obtenim tres segments (AA', BB' и CC'), que s'anomenen cevians.
Aquests segments es tallen en un punt si i només si es compleix la igualtat següent:
|I'| |NO'| |CB'| = |BC'| |MAJÚS'| |AB'|
El teorema també es pot presentar d'aquesta forma (es determina en quina proporció els punts divideixen els costats):
Teorema trigonomètric de Ceva
Nota: totes les cantonades estan orientades.
Exemple de problema
Triangle donat abecedari amb punts A', B' и C ' als costats BC, AC и AB, respectivament. Els vèrtexs del triangle estan connectats amb els punts donats, i els segments formats passen per un punt. Al mateix temps, els punts A' и B' presa en els punts mitjans dels costats oposats corresponents. Esbrineu en quina proporció el punt C ' divideix el costat AB.
Solució
Dibuixem un dibuix segons les condicions del problema. Per a la nostra comoditat, adoptem la notació següent:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Només queda compondre la proporció dels segments segons el teorema de Ceva i substituir-hi la notació acceptada:
Després de reduir les fraccions, obtenim:
Per tant, AC' = C'B, és a dir, punt C ' divideix el costat AB la meitat.
Per tant, en el nostre triangle, els segments AA', BB' и CC' són mitjanes. Un cop resolt el problema, vam demostrar que es tallen en un punt (vàlid per a qualsevol triangle).
Nota: utilitzant el teorema de Ceva, es pot demostrar que en un triangle en un punt, les bisectrius o altures també es tallen.