Producte creuat de vectors

En aquesta publicació, analitzarem com trobar el producte creuat de dos vectors, donarem una interpretació geomètrica, una fórmula algebraica i propietats d'aquesta acció, i també analitzarem un exemple de resolució del problema.

Interpretació geomètrica

Producte vectorial de dos vectors diferents de zero a и b és un vector c, que es denota com [a, b] or a x b.

Longitud del vector c és igual a l'àrea del paral·lelogram construït amb els vectors a и b.

En aquest cas, c perpendiculars al pla en què es troben a и b, i es troba de manera que la menor rotació de a к b es va realitzar en sentit contrari a les agulles del rellotge (des del punt de vista de l'extrem del vector).

Fórmula de productes creuats

Producte de vectors a = {a_x; a_y,_z} i b = {b_x; b_yb_z} es calcula mitjançant una de les fórmules següents:

Propietats creuades del producte

1. El producte creuat de dos vectors diferents de zero és igual a zero si i només si aquests vectors són colineals.

[a, b] = 0, Si a || b.

2. El mòdul del producte creuat de dos vectors és igual a l'àrea del paral·lelogram format per aquests vectors.

S_{paral · lel} = |a x b|

3. L'àrea d'un triangle format per dos vectors és igual a la meitat del seu producte vectorial.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Un vector que és producte creuat d'altres dos vectors és perpendicular a ells.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

un. (a + b) x c = a x c + b x c

Exemple de problema

Calcula el producte creuat a = {2; 4; 5} и b = {9; -dos; 3}.

Decisió:

Resposta: a x b = {19; 43; -42}.