contingut
En aquesta publicació, considerarem les propietats bàsiques de l'alçada en un triangle equilàter (regular). També analitzarem un exemple de resolució d'un problema sobre aquest tema.
Nota: el triangle s'anomena equilàtersi tots els seus costats són iguals.
Propietats d'altura en un triangle equilàter
Propietat 1
Qualsevol alçada en un triangle equilàter és alhora una bisectriu, una mediana i una mediatriu.
- BD – alçada rebaixada al costat AC;
- BD és la mediana que divideix el costat AC a la meitat, és a dir AD = DC;
- BD - bisectriu de l'angle ABC, és a dir, ∠ABD = ∠CBD;
- BD és la mediana perpendicular a AC.
Propietat 2
Les tres altituds d'un triangle equilàter tenen la mateixa longitud.
AE = BD = CF
Propietat 3
Les altures en un triangle equilàter a l'ortocentre (punt d'intersecció) es divideixen en una proporció de 2:1, comptant des del vèrtex des del qual es dibuixen.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Propietat 4
L'ortocentre d'un triangle equilàter és el centre dels cercles inscrits i circumscrits.
- R és el radi del cercle circumscrit;
- r és el radi del cercle inscrit;
- R = 2r (segueix de Propietats 3).
Propietat 5
L'alçada d'un triangle equilàter el divideix en dos triangles rectangles d'àrea igual (àrea igual).
S1 =S2
Tres altures en un triangle equilàter el divideixen en 6 triangles rectangles de la mateixa àrea.
Propietat 6
Coneixent la longitud del costat d'un triangle equilàter, la seva alçada es pot calcular amb la fórmula:
a és el costat del triangle.
Exemple de problema
El radi d'una circumferència circumscrita al voltant d'un triangle equilàter és de 7 cm. Troba el costat d'aquest triangle.
Solució
Com sabem de propietats 3 и 4, el radi del cercle circumscrit és 2/3 de l'alçada d'un triangle equilàter (h). Conseqüentment, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Ara queda per calcular la longitud del costat del triangle (l'expressió es deriva de la fórmula in Propietat 6):
